Methods for extracting spectral densities from Euclidean lattice correlators

Spectral densities and their smeared version with analytically known kernel functions encode dynamical information on a wide variety of phenomenologically interesting quantities, such as inclusive multiparticle hadronic scattering cross sections, semi-leptonic decay rates, and non-static properties of the quark-gluon plasma in thermal Quantum Chromodynamics (QCD), to name a few. Our long-term goal is their ab initio, non-perturbative extraction from the Euclidean time dependence of correlation functions in Lattice QCD. In this Thesis, we address two stumbling blocks that affect this computation. First of all, the majority of the hadronic correlators computed in Euclidean Quantum Field Theories is affected by an exponential degradation of their signal-to-noise (StN) ratios, worsening the quality of data at large temporal distances. In standard Lattice QCD simulations, the number of configurations necessary to reach a given statistical precision would increase with the square of that exponential factor. In multilevel algorithms, this exponential loss of significance is tackled by exploiting the locality of the theory in order to design new estimators with a reduced variance, achieving exponential improvements where the StN problem is worse. However, the non-local dependence of the fermion determinant on the gauge field limits our ability to simulate Lattice QCD with fermions through local updates. For this reason, the first original contribution of this Thesis consists in the four-dimensional generalization of a recent proposal for a one-dimensional factorization of the gauge-field dependence of the fermion determinant. An overlapping domain decomposition in four-dimensions leads to a block-local action in the gauge and in the auxiliary bosonic fields, with a small remainder that can be included in the observable through a reweighting procedure. Besides paving the way to multilevel integration schemes, this factorization can be beneficial also in the context of simulations in large volumes, as well as in making the parallelization of Monte Carlo algorithms and codes more efficient. Secondly, it is hard to define an explicit, direct dependence of spectral densities on Euclidean correlation functions. More precisely, the problem can be phrased as that of computing an inverse Laplace transform from the knowledge of correlation functions only on the Euclidean time axis, a notoriously ill-posed inverse problem which is further complicated by the finite, discrete and intrinsically noisy nature of lattice data. Building on a wide mathematical literature, in this Thesis we introduce analytic, explicit relations to solve the inverse problem through a linear combination of the correlators with analytically known, real and computable coefficients. Our results enable also a direct estimation of finite-volume and discretization effects on the estimated (smeared) spectral densities, which may be directly inferred from those analytically known for the correlators. Such formulae are first derived in the continuum and generalized to the case of spectral densities satisfying subtracted dispersion relations. The analytical control of the solution allows us to explicitly quantify systematic errors due to a finite temporal extent of the lattice. We also derive an explicit, analytic formula to exactly perform this reconstruction in the discrete case, where a trivial discretization of the continuum coefficients would lead to large discretization errors on the associated reconstruction. We additionally discuss the effects of statistical errors: the inherently noisy nature of lattice data might spoil the results, which hinge on delicate cancellations in the linear combination of correlation functions with wildly oscillating coefficients. Moreover, we present a few preliminary numerical results, extending our previous analysis for the isovector vector spectral density, extracted from accurate multilevel data.

Le densità spettrali e la loro convoluzione con funzioni note racchiudono informazioni dinamiche su varie quantità di interesse fenomenologico, come le sezioni d'urto inclusive per processi adronici, i tassi di decadimento semi-leptonici e alcune proprietà non statiche del plasma di quark e gluoni, per esempio. Il nostro obiettivo a lungo termine è l’estrazione ab initio e non perturbativa di tali densità dalla dipendenza dal tempo euclideo delle funzioni di correlazione in QCD su reticolo. In questa Tesi, affrontiamo due grandi problemi che ostacolano questa ricostruzione. In primo luogo, la maggior parte dei correlatori adronici calcolati nelle Teorie Quantistiche di Campo euclidee è soggetta a un decadimento esponenziale del rapporto segnale-su-rumore (StN), peggiorando la qualità dei dati a grandi distanze temporali. Con simulazioni ordinarie di QCD su reticolo, il numero di configurazioni necessario per raggiungere una data precisione statistica crescerebbe con il quadrato di questo fattore esponenziale. Gli algoritmi multilevel, invece, sfruttano la località della teoria per definire nuovi stimatori con una varianza ridotta, ottenendo miglioramenti esponenziali laddove il problema StN è peggiore. Tuttavia, la dipendenza non locale del determinante fermionico dal campo di gauge limita la nostra capacità di simulare la QCD su reticolo con fermioni tramite aggiornamenti locali. Per questo motivo, il primo contributo originale di questa Tesi consiste nella generalizzazione in quattro dimensioni di una recente proposta di fattorizzazione in una dimensione della dipendenza dal campo di gauge del determinante fermionico. Una decomposizione quadri-dimensionale del reticolo porta a un’azione locale nei campi di gauge e bosonici ausiliari, con un piccolo termine residuo, che può essere trattato in modo esatto includendolo nell'osservabile. Oltre alle applicazioni in schemi di integrazione multilevel, questa fattorizzazione può essere utile anche nel contesto di simulazioni a grandi volumi, nonché per rendere più efficiente la parallelizzazione degli algoritmi Monte Carlo e dei codici. In secondo luogo, la dipendenza esplicita delle densità spettrali dalle funzioni di correlazione euclidee è data da una trasformata di Laplace inversa, da calcolare conoscendo le funzioni di correlazione solo sull’asse temporale euclideo. Questo problema inverso, notoriamente mal posto, è complicato ulteriormente dalla natura finita, discreta e intrinsecamente rumorosa dei dati su reticolo. Basandoci su un’ampia letteratura matematica, in questa Tesi introduciamo relazioni analitiche esplicite per risolvere il problema inverso mediante una combinazione lineare dei correlatori con coefficienti reali noti e calcolabili analiticamente. I nostri risultati consentono anche una stima diretta degli effetti di volume finito e di discretizzazione sulle densità spettrali, a partire da quelli noti analiticamente per i correlatori. Deriviamo tali formule inizialmente nel continuo, generalizzandole anche al caso di densità spettrali che soddisfano relazioni di dispersione sottratte. Il controllo analitico della soluzione ci consente di quantificare gli errori sistematici dovuti a una lunghezza temporale finita del reticolo. Deriviamo inoltre una formula esplicita e analitica per la ricostruzione esatta nel caso discreto, dove una semplice discretizzazione dei coefficienti del continuo porterebbe a grandi errori di discretizzazione nella ricostruzione associata. Trattiamo anche gli effetti degli errori statistici: la natura intrinsecamente rumorosa dei dati su reticolo potrebbe compromettere i risultati, che si basano su cancellazioni delicate nelle combinazioni lineari delle funzioni di correlazione con dei coefficienti fortemente oscillanti. Presentiamo, infine, alcuni risultati numerici preliminari, estendendo la nostra analisi precedente per la densità spettrale vettoriale isovettoriale, estratta da dati multilevel accurati.