New results on effective nonvanishing and boundedness of foliations

This thesis aims to study two unrelated problems in birational geometry and foliation theory. The first part studies the Ambro-Kawamata conjecture, which states the existence of nontrivial global sections of a line bundle on a mildly singular variety, under some positivity assumptions on the bundle. The objective is to partially complete a previous work of Pizzato, Sano and Tasin, who proved the conjecture for Fano or Calabi-Yau quasi-smooth weighted complete intersections. In the remaining case, that is the case of general type, we give a partial answer by showing that the conjecture holds in low codimensions. In order to do this, we relate a generalisation of the conjecture to a purely numerical problem, the Frobenius problem for numerical semigroups. This requires new results and estimates on the Frobenius number of a semigroup, and as a corollary to the main result we obtain a new bound on Frobenius numbers. In the second part, we study the boundedness of foliations on algebraic surfaces. By analogy with the classical problem of determining the conditions under which canonical models of varieties of general type belong to a bounded family, we study a similar problem for canonical models of foliated surfaces of general type. In previous works, Hacon-Langer and Chen proved some boundedness results under the assumption that the Hilbert function of the foliations is fixed. We improve this, by showing that there exist only finitely many Hilbert functions of canonical models of general type under some natural assumptions. As a consequence, the same results still hold under weaker hypotheses. We also conjecture that such conditions are minimal, on the basis on some examples of unbounded families of canonical models.

Questa tesi si occupa di studiare due problemi in geometria birazionale e teoria delle foliazioni. La prima parte studia la congettura di Ambro-Kawamata, che afferma l'esistenza di sezioni globali non banali di un line bundle con alcune condizioni di positività. L'obiettivo è dare un parziale completamento di un precedente lavoro di Pizzato, Sano e Tasin, in cui gli autori dimostrano che la congettura vale per intersezioni complete pesate quasi-lisce che sono Fano o Calabi-Yau. Nel caso rimanente, cioè il caso di tipo generale, diamo una risposta parziale dimostrando che la congettura vale in codimensioni basse. Per fare ciò, mostriamo che una generalizzazione della congettura è strettamente legata ad un problema puramente numerico, il problema di Frobenius per semigruppi numerici. Questo approccio richiede nuovi risultati e stime sul numero di Frobenius di un semigruppo, e come corollario del risultato principale dimostriamo un nuovo limite superiore ai numeri di Frobenius. Nella seconda parte, studiamo il problema della limitatezza di foliazioni su superfici algebriche. In analogia con il problema classico di determinare le condizioni sotto cui modelli canonici di varietà di tipo generale appartengono a famiglie limitate, studiamo un problema simile per modelli canonici di superfici foliate di tipo generale. In lavori precedenti, Hacon-Langer e Chen dimostrano alcuni risultati di limitatezza sotto l'ipotesi che la funzione di Hilbert delle foliazioni sia fissata. Miglioriamo ciò, mostrando che ci sono solo un numero finito di funzioni di Hilbert di modelli canonici di tipo generale sotto alcune ipotesi naturali. Come conseguenza, gli stessi risultati continuano a valere sotto condizioni più deboli. Infine, congetturiamo che tali ipotesi siano minime, a partire da alcuni esempi di famiglie illimitate di modelli canonici.