On a Majorana representation of the group 2xPSL(3,2)

The simple group of Fischer and Griess, known as the Monster, is the largest of the sporadic groups. Its order is huge and the only construction we have knowledge of is as an automorphism group of the Griess (or Monster) algebra, a 196.884 dimensional commutative non-associative real algebra. In this algebra there are special idempotents, known as axes, that are in bijection with the involutions of the class 2A in the Atlas notation which generate the Monster. In an effort to propose an axiomatic setting for the study of the Monster, A. A. Ivanov presented the notions of Majorana algebra and Majorana representation in 2009, taking inspiration from Sakuma’s results. Finding the subalgebras of the Griess algebra generated by axes is one of the purposes of the study of Majorana algebras. As, by Norton-Sakuma’s classification, Majorana algebras generated by two axes are completely known, it then makes sense to look at the classification of algebras generated by three axes or by an axis and a 3-axis. These latter were classified by Norton and Ivanov proposes it as an important project. This thesis is a contribution to those two problems. We compute the dimension of some of the algebras in the Norton list using the GAP Package “Majorana Algebras”. Then we examine the project of finishing the classification of Majorana algebras that admit the group PSL(3,2) as an automorphism group. As demonstrated, the group PSL(3,2) has exactly two Majorana representations that satisfy axiom 2A. Additionally, there is at least one Majorana representation of dimension 57 of PSL(3,2) not satisfying axiom 2A, and there may be more. We analyze the Majorana representation of the group 2×PSL(3,2) with shape (2B,3A,4A), as the possibly missing algebra has this shape. Since C2×S4 is one of the maximal groups in C2×PSL(3,2), we first focus on the Majorana representation of the group C2×S4 with shape (2B,3A).

Il gruppo semplice di Fischer e Griess, noto come Mostro, è il più grande dei gruppi sporadici. Il suo ordine è enorme e l'unica costruzione di cui siamo a conoscenza è come gruppo di automorfismi dell'algebra di Griess (o Mostro), un'algebra reale commutativa non associativa di dimensione 196,884. In questa algebra ci sono particolari vettori idempotenti, noti come assi, che sono in biiezione con le involuzioni della classe 2A nella notazione Atlas che generano il Mostro. Nel tentativo di proporre una struttura assiomatica per lo studio del Mostro, A. A. Ivanov ha presentato nel 2009 le nozioni di algebra di Majorana e di rappresentazione di Majorana, ispirandosi ai risultati di Sakuma. Trovare le sottoalgebre dell'algebra di Griess generate dagli assi è uno degli scopi dello studio delle algebre di Majorana. Poiché, in base alla classificazione di Norton-Sakuma, le algebre di Majorana generate da due assi sono completamente note, ha senso esaminare la classificazione delle algebre generate da tre assi o da un asse e un 3-asse. Queste ultime sono state classificate da Norton e Ivanov le propone come un progetto importante. Questa tesi è un contributo a questi due problemi. Quindi abbiamo calcolato la dimensione di alcune delle algebre della lista di Norton utilizzando il pacchetto GAP "Majorana Algebras". Abbiamo poi esaminato il progetto di completare la classificazione delle algebre di Majorana che ammettono il gruppo PSL(3, 2) come gruppo di automorfismi. Il gruppo PSL(3, 2) ha esattamente due rappresentazioni di Majorana che soddisfano l'assioma 2A. Inoltre esiste almeno una rappresentazione di Majorana di dimensione 57 di PSL(3,2) che non soddisfa l'assioma 2A, e potrebbero essercene altre. Abbiamo analizzato la rappresentazione di Majorana del gruppo 2×PSL(3,2) con shape (2B,3A,4A), poiché l'algebra eventualmente mancante ha questa forma. Poiché C2×S4 è uno dei gruppi massimi in C2×PSL(3,2), ci siamo concentrati sulla rappresentazione di Majorana del gruppo C2×S4 con shape (2B,3A).