Unique continuation principles for elliptic and parabolic equations and spectral stability for Aharonov-Bohm operators

The present dissertation consists of three parts. In the first part we study unique continuation principles and the asymptotic behaviour of weak solutions to some elliptic problems. Our approach is based on the combination of an Almgren-type monotonicity formula with a blow-up analysis. Pohozaev-type identities play a key role in the derivation of Almgren’s monotonicity formulas and can be challenging to derive when the solution lacks regularity. Then we also present a regularity result in weighted Sobolev spaces and a Pohozaev identity obtained as an application. More precisely, in Chapter 2 we derive local asymptotics of solutions to second order elliptic equations at the edge of a (N − 1)-dimensional crack, with homogeneous Neumann boundary conditions prescribed on both sides of the crack. We provide a complete classi- fication of all possible asymptotic degrees of homogeneities of solutions at the crack’s tip, together with a strong unique continuation principle. In Chapter 3 we recall some useful results about weighted Sobolev spaces which are used throughout the present dissertation. Furthermore, we prove Sobolev-type regularity results for solutions to a class of second order elliptic equations with a singular or degenerate weight, under non-homogeneous Neumann conditions. As an application, we derive a Pohozaev-type identity. In Chapter 4 we investigate unique continuation properties and asymptotic behaviour at boundary points for solutions to a class of elliptic equations involving the spectral fractional Laplacian. An extension procedure leads us to study a degenerate or singular equation on a cylinder, with a homogeneous Dirichlet boundary condition on the lateral surface and a non homogeneous Neumann condition on the basis. For the extended problem, we classify the local asymptotic profiles at the edge where the transition between boundary conditions occurs. Passing to traces, an analogous blow-up result and its consequent strong unique continuation property are deduced for the non-local fractional equation. In Chapter 5 strong unique continuation properties and a classification of the asymptotic profiles are established for spectral fractional powers of a Schrödinger operator with a Hardy- type potential singular at 0. In the second part of the present dissertation, we investigate unique continuation principles and the asymptotic behaviour of weak solutions to a class of parabolic equations. More precisely, in Chapter 6 we obtain a classification of local asymptotic profiles and strong unique continuation properties for a class of fractional heat equations with a Hardy-type potential. Similarly to the elliptic case, we make use of an extension procedure to localize the problem. In the third part of the present dissertation, we study the asymptotic behaviour of simple eigenvalues of Aharonov-Bohm operators with half integer circulation on a simple connected bounded domain Ω ⊂ R2 with Dirichlet boundary conditions as many poles coalesce to a fixed point. More precisely, in Chapter 7, we make use of a gauge transformation to reformulate the problem as an eigenvalue problem for the Laplacian in a domain with straight cracks, laying along the moving directions of poles. For this problem, we obtain an asymptotic expansion for eigenvalues, in which the dominant term is related to the minimum of an energy functional associated with the configuration of poles and defined on a space of functions suitably jumping through the cracks. Concerning configurations with an odd number of poles, an accurate blow-up analysis identifies the exact asymptotic behaviour of eigenvalues and the sign of the variation in some cases. An application to the special case of two poles is also discussed.

La presente tesi è suddivisa in tre parti. Nella prima parte studiamo i principi di continuazione unica e il comportamento asintotico delle soluzioni deboli di alcuni problemi ellittici. Il nostro approccio si basa sulla combinazione di una formula di monotonia di tipo Almgren con un'analisi di blow-up. Le identità di tipo Pohozaev giocano un ruolo chiave nella derivazione delle formule di monotonia n e possono essere difficili da ottenere quando la soluzione manca di regolarità. Presentiamo allora anche un risultato di regolarità in spazi di Sobolev pesati e un'identità di Pohozaev ottenuta come applicazione. Più precisamente, nel capitolo 2 deriviamo l'asintotica locale delle soluzioni di equazioni ellittiche del secondo ordine al bordo di una frattura di dimensione (N − 1), con condizioni al bordo di Neumann omogenee prescritte su entrambi i lati della frattura. Come conseguenaza otteniamo un principio di continuazione unica forte . Nel capitolo 3 preentiamo alcuni risultati utili sugli spazi di Sobolev pesati. Inoltre, dimostriamo risultati di regolarità di tipo Sobolev per soluzioni di una classe di equazioni ellittiche del secondo ordine con un peso singolare o degenerato, in condizioni di Neumann non omogenee. Come applicazione, deriviamo un'identità di tipo Pohozaev. Nel capitolo 4 indaghiamo le proprietà di continuazione unica e il comportamento asintotico nei punti del bordo per soluzioni di una classe di equazioni ellittiche che coinvolgono il laplaciano spettrale frazionario. Nel capitolo 5 sono stabilite proprietà di continuazione unica forte e una classificazione dei profili asintotici per i laplaciani frazionari spettrali di un operatore di Schrödinger con un potenziale di tipo Hardy singolare in 0. Nei capitoli 4 e 5 facciomo uso di procedure di estensione per localizzare il problema. Nella seconda parte della presente tesi, indaghiamo i principi di continuazione unica e il comportamento asintotico delle soluzioni deboli per una classe di equazioni paraboliche. Più precisamente, nel Capitolo 6 otteniamo una classificazione dei profili asintotici locali e proprietà forti di continuazione unica per una classe di equazioni del calore frazionario con un potenziale di tipo Hardy. Analogamente al caso ellittico, facciamo uso di una procedura di estensione per localizzare il problema. Nella terza parte della presente tesi, studiamo il comportamento asintotico degli autovalori semplici per operatori di Aharonov-Bohm con circolazione semintera su un dominio limitato semplicemente connesso Ω ⊂ R2 con condizioni al bordo di Dirichlet, mentre k poli si scontrano in un punto fissato. Più precisamente, nel capitolo 7, facciamo uso di una trasformazione di gauge per riformulare il problema come un problema agli autovalori per il laplaciano in un dominio con fratture lineri, disposte lungo le direzioni di movimento dei poli. Per questo problema, otteniamo un'espansione asintotica per gli autovalori semplic, in cui il termine dominante è legato al minimo di una funzionale di energia associato alla configurazione dei poli e definito su uno spazio di funzioni che saltano in modo opputuno sulle fratture. Riguardo alle configurazioni con un numero dispari di poli, un'accurata analisi di blow-up ci permette di indentificare il comportamento asintotico esatto degli autovalori semplici e il segno della variazione spettrale in alcuni casi. Discutiamo anche un'applicazione al caso speciale di due poli.