Some questions about the Möbius function of finite linear groups

The Möbius function of locally finite partially ordered sets is a classical tool in enumerative combinatorics. It is a generalization of the number-theoretic Möbius function and it has several applications in group theory, from the Euler characteristic of subgroup complexes to algebraic aspects of cellular automata. In the first part of the thesis, we recall some basic notions about the order structures which are related to the Möbius function, and we present its main properties, such as the Möbius inversion formula and Crapo's theorems. Moreover, we investigate some relevant connections with group-theoretical topics to motivate our interest in the Möbius function of finite linear groups. In the second part, we work on these groups to obtain information about their Möbius function, and our original results are useful to compute it if we know the structure of some special subspace lattices related to subgroups. We study in detail the case of distributive subspace lattices. Then we show an example of a subgroup in the general linear group, such that the subspace lattice associated to the subgroup is non-distributive. In this way, we see that our arguments can also be applied to different situations, under certain conditions. In the last part of the thesis, we connect the previously obtained results to an open question about finitely generated profinite groups and finite almost-simple groups, introducing an original approach to the problem. Although we do not completely answer to this last question, we get some useful partial results.

La funzione di Möbius definita per insiemi parzialmente ordinati localmente finiti è un classico strumento di analisi combinatoria. Si tratta di una generalizzazione della funzione di Möbius nota in teoria dei numeri e ha varie applicazioni pure in teoria dei gruppi, dalla caratteristica di Eulero di complessi di sottogruppi fino allo studio di aspetti algebrici in automi cellulari. Nella prima parte della tesi richiamiamo alcune informazioni elementari per strutture d'ordine che sono legate alla funzione di Möbius, e ne presentiamo le principali proprietà, quali ad esempio la formula di inversione di Möbius e i teoremi di Crapo. Inoltre analizziamo alcuni legami importanti con argomenti di teoria dei gruppi, al fine di motivare il nostro interesse nei confronti della funzione di Möbius di gruppi lineari finiti. Nella seconda parte, lavoriamo su questi gruppi per studiarne la funzione di Möbius e otteniamo risultati originali che si rivelano utili per calcolarla, nota la struttura di alcuni particolari reticoli di sottospazi associati ai sottogruppi. Vediamo in dettaglio il caso in cui abbiamo un reticolo di sottospazi distributivo. In seguito mostriamo un esempio di sottogruppo del gruppo lineare generale, tale che il reticolo di sottospazi associato al sottogruppo non è distributivo. In questo modo osserviamo che i nostri ragionamenti hanno una validità più ampia e possono essere applicati a situazioni differenti, sotto determinate condizioni. Nell'ultima parte della tesi, colleghiamo i risultati ottenuti in precedenza ad alcune questioni aperte che riguardano gruppi profiniti finitamente generati e gruppi finiti almost-simple, presentando un approccio originale al problema. Benché poi questo problema non venga completamente risolto, otteniamo degli utili risultati parziali che possono essere sviluppati in futuro.