Capital allocation: standard and beyond

The thesis deals with the problem of capital allocation. After a brief review of the literature and of the standard methods, capital allocation problems with respect to a particular class of risk measures, namely the Haezendonck-Goovaerts (HG) ones [13, 46], are considered. We first generalize the capital allocation rule (CAR) introduced by Xun et al. [66] for Orlicz risk premia [47], using two different approaches, in order to cover HG risk measures. We then provide robust versions of the introduced CARs, both considering the case of ambiguity over the probabilistic model and the one of multiple Young functions, following the scheme of [12]. Further on, we introduce a new approach to face capital allocation problems from the perspective of acceptance sets, by defining the family of sub-acceptance sets. We study the relations between the notions of sub-acceptability and acceptability of a risky position and their impact on the allocation of risk. We define the notion of risk contribution rule and show how in this context it is interpretable as a tool for assessing the contribution of a sub-portfolio to a given portfolio, in terms of acceptability, without necessarily involving a risk measure. Furthermore, we investigate under which conditions on a risk contribution rule a representation of an acceptance set holds in terms of the risk contribution rule itself, thus extending to this setting the interpretation, classical in risk measures theory, of minimal amount required to hedge a risky position. Finally, we provide a discussion on some possible further extensions of the capital allocation problem. In particular, we discuss the possibility of extending the latter to the framework of intrinsic risk measures [36]. We briefly review the notions and results on intrinsic risk measures, providing a comparison with traditional ones. We later discuss the suitability of the capital allocation problem in this context, as well as that of the properties related to capital allocation rules, considering both the standard setting and the one based on acceptance sets. We derive some results similar to the case of traditional risk measures.

La tesi affronta il problema dell'allocazione del capitale. Dopo una breve rassegna della letteratura e dei metodi standard, vengono considerati i problemi di allocazione del capitale rispetto ad una particolare classe di misure di rischio, ovvero quelle di Haezendonck-Goovaerts (HG) [13, 46]. Per prima cosa, generalizziamo la regola di allocazione del capitale (CAR) introdotta da Xun et al. [66] per i premi al rischio di Orlicz [47], utilizzando due diversi approcci, al fine di coprire le misure di rischio di HG. Forniamo poi versioni robuste delle CAR introdotte, sia considerando il caso dell’ambiguità sul modello probabilistico che quello di una molteplicità di funzioni di Young, seguendo lo schema di [12]. Successivamente, introduciamo un nuovo approccio per affrontare i problemi di allocazione del capitale dal punto di vista degli insiemi di accettazione, definendo il concetto di famiglia di insiemi di sotto-accettazione. Studiamo le relazioni tra le nozioni di sotto-accettabilità e accettabilità di una posizione rischiosa e il loro impatto sull'allocazione del capitale. Definiamo la nozione di regola di contributo al rischio e mostriamo come in questo contesto sia interpretabile come uno strumento per valutare il contributo di un sotto-portafoglio a un dato portafoglio, in termini di accettabilità, senza necessariamente coinvolgere una misura di rischio. Inoltre, indaghiamo per quali condizioni, su una regola di contributo al rischio, vale una rappresentazione in termini di insiemi di accettazione della regola di contributo al rischio stessa, estendendo così a questa contesto l'interpretazione, classica nella teoria delle misure di rischio, di importo monetario minimo richiesto per rendere una posizione accettabile. Infine, discutiamo alcune ulteriori estensioni del problema dell'allocazione del capitale. In particolare, discutiamo la possibilità di estendere quest'ultimo al contesto delle misure di rischio intrinseco [36]. In primo luogo, rivediamo brevemente le nozioni e i risultati principali sulle misure di rischio intrinseco, fornendo un confronto con quelle tradizionali. Successivamente, discutiamo l'idoneità del problema dell'allocazione del capitale in questo contesto, così come quello delle proprietà da richiedere alle regole di allocazione del capitale, considerando sia l’approccio standard che quello basato sugli insiemi di accettazione. Deriviamo risultati simili al caso delle misure di rischio tradizionali.