Subdivision Schemes for Curve Design and Image Analysis

Subdivision schemes are able to produce functions, which are smooth up to pixel accuracy, in few steps of an iterative process. Therefore, they are a powerful tool for displaying functions in computer graphics and signal analysis. My thesis focuses on two of these applications: one by studying the regularity of the limit curve, and one by analysing anisotropic phenomena in image processing. Being an iterative process, the first inquiry about a subdivision scheme is if it converges. For this reason a lot of research on subdivision schemes concerns the smoothness of the limit curve. Linear schemes are well investigated in this sense, because the new points are a linear combination of points from the previous iteration. Instead in non-linear schemes, the new points depend in a non-linear way on the points from the previous step. This type of schemes are not generally exploited but they are an interesting tool to guarantee some geometric properties of the limit curve. For non-linear schemes, only ad hoc proof or a numerical evidence of the regularity are provided. The first paper that covers this lack of studies is by Dyn and Hormann, where they give sufficient conditions on the convergence and tangent continuity of an interpolatory scheme. The peculiarity of their approach is to consider entities like tangents and curvatures. The summability of the sequences of maxima edge lengths and angles ensure that the limit curve is tangent continuous. The aim of my work is to find a geometric condition for the curvature continuity of the limit curve. The curvature is the reciprocal of the radius of the osculating circle which is the limit of the circles passing through three point q, p, r when q and r converge to p. So, we consider the curvatures of the circles passing through three consecutive points and the difference of neighbouring discrete curvatures. The core of my work is to prove that the summability of this sequence is sufficient to generate a curvature continuous limit curve. The proof is supported by some numerical examples. Subdivision schemes can also be used in image analysis. Due to their relation with a multiresolution analysis, interpolatory subdivision schemes allow to analyse a signal. One crucial issue is the analysis of anisotropic signals with the aim to catch directional edges. When dealing with anisotropic phenomena, wavelets do not provide optimally representations. For this reason directional transforms were introduced. Among them, the shearlet transform is interesting because it provides the general approach of multiple subdivision scheme where in each iteration an expanding matrix and a subdivision scheme are chosen in a finite set. The expanding matrices are responsible for the refinement: in this sense we require that they are jointly expanding. In order to define a directional transform it is crucial that the expanding matrices satisfy the slope resolution property. In the shearlets case the expanding matrices considered are the product of a diagonal matrix and a pseudo rotation matrix called shear. The drawback is that the diagonal matrix considered has large determinant that leads to a quite substantial complexity in implementations. In my work I overcome this problem by proposing, for any dimension, a family of matrices, product of an anisotropic diagonal matrix and a shear matrix, whose determinant is considerable lower than the shearlet case. We prove that the elements of this family satisfy all the prescribed properties. In this sense we are able to define a directional transform and we test the performance with some images. For dimension d=3, we also study the possibility to reduce even more the determinant by relaxing the structure of the matrix.

Uno schema di suddivisione è un processo iterativo che a partire da alcuni punti produce in poche iterazioni una funzione continua. È un potente mezzo per rappresentare funzioni in campi come la grafica computerizzata e l'analisi di immagini. Il mio lavoro di tesi si è concentrato su due aspetti: lo studio della regolarità della curva limite e l'utilizzo degli schemi di suddivisione per l'analisi di segnali anisotropici. Essendo un processo iterativo è naturale chiedersi quando uno schema converga. Per questo motivo la ricerca si è concentrata nel trovare condizioni affinché la curva limite abbia una certa regolarità. Uno schema si dice lineare se i nuovi punti sono una combinazione lineare dei punti al passo precedente. Per questo tipo di schemi si conoscono molti metodi per studiarne la regolarità; diverso è per schemi non lineari, cioè schemi in cui i nuovi punti dipendono non linearmente dai punti del passo precedente. Tali schemi non sono molto utilizzati, ma sono interessanti perché permettono che la curva limite abbia certe caratteristiche geometriche. In letteratura la regolarità degli schemi non lineari è stata dimostrata con prove ad hoc o si è data solo una evidenza numerica. Il primo lavoro che ha cercato di colmare questa lacuna è di Dyn e Hormann; hanno presentato delle condizioni sufficienti perché uno schema interpolatorio sia convergente e generi una curva limite con tangente continua. L'idea è di studiare la regolarità considerando quantità geometriche come tangenti e curvature. Dyn e Hormann dimostrano che se le serie delle massime lunghezze dei segmenti e dei massimi degli angoli convergono, allora la curva limite ha tangente continua. Lo scopo del mio lavoro è di trovare una condizione per cui la curva limite abbia curvatura continua. La curvatura è il reciproco del raggio del cerchio osculatore, dove quest'ultimo è la posizione limite dei cerchi passanti per tre punti q, p e r quando q e r convergono a p. Abbiamo così considerato le curvature dei cerchi passanti per tre punti e la differenza di curvature tra cerchi vicini. Il nucleo del mio lavoro è stato dimostrare che se la serie di queste differenze è convergente allora la curva limite ha curvatura continua. La dimostrazione è stata supportata da diversi esempi numerici. Gli schemi di suddivisione possono essere utilizzati anche nell'analisi di immagini. Un problema cruciale è quello di rappresentare segnali anisotropici individuandone i contorni. Le ondine, essendo intrinsecamente isotropiche, non riescono a rappresentarli bene. Per questo motivo sono state studiate delle trasformate direzionali tra cui spiccano le shearlet perché permettono di definire schemi di suddivisione multipli, dove ad ogni iterazione è possibile scegliere una matrice espansiva e uno schema di suddivisione da un certo insieme. Le matrici espansive sono responsabili del raffinamento, per questo richiediamo che siano congiuntamente espansive. Per avere, invece, una opportuna trasformata direzionale, si chiede che le matrici soddisfino la proprietà di slope resolution. Le matrici usate nelle shearlet sono il prodotto di una matrice diagonale e una matrice di pseudo rotazione detta shear. Queste matrici hanno determinante relativamente alto che condiziona il costo computazionale. Nel mio lavoro abbiamo perciò proposto, per ogni dimensione, una famiglia di matrici, prodotto di una matrice diagonale e una shear, con determinante minore rispetto alle shearlet. Abbiamo mostrato che le nuove matrici soddisfano tutte le proprietà richieste. Si può quindi definire una trasformata direzionale di cui si sono testate le performance con alcune immagini. Per dimensione d=3 abbiamo studiato la possibilità di ridurre il determinante rilassando la struttura delle matrici.