Spline Upwind: a novel stabilization method for space – time Isogeometric Analysis

This thesis proposes the Spline Upwind (SU) method, a novel stable technique for solving the heat equation within the space-time Isogeometric Analysis (IgA) framework, employing simultaneous discretization in both space and time. The SU method extends the Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) stabilization to high-degree, high-continuity splines, ensuring temporal causality and preventing spurious oscillations in the numerical solutions. Furthermore, a modified version of the SU method is introduced for applications in cardiac electrophysiology. Numerical results exhibit optimal convergence order for smooth solutions and stability in the presence of sharp layers, addressing both one-dimensional problems, the heat equation, and the Rogers-McCulloch model. Moreover, efficient solvers with preconditioners are employed to handle the computational complexity required for testing on 3D spatial domains, including the domain approximating the left ventricular geometry. Consequently, the SU method provides a robust and cost-effective approach, ensuring both solution stability and computational efficiency.

Questa tesi propone il metodo Spline Upwind (SU), una nuova tecnica stabile per la risoluzione dell'equazione del calore nell'ambito dell'Analisi Isogeometrica (IgA) spazio-tempo, con discretizzazione simultanea sia nello spazio che nel tempo. Il metodo SU estende la stabilizzazione Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) a spline di alto grado e alta continuità, garantendo la causalità temporale ed evitando oscillazioni spurie nelle soluzioni numeriche. Inoltre, viene introdotta una versione modificata del metodo SU per applicazioni nell'elettrofisiologia cardiaca. I risultati numerici mostrano un ordine di convergenza ottimale per soluzioni smooth e stabilità in presenza di forti gradienti, affrontando sia problemi unidimensionali, l'equazione del calore e il modello di Rogers-McCulloch. Inoltre, sono impiegati solver efficienti con precondizionatori per gestire la complessità computazionale richiesta nei test su domini spaziali 3D, incluso il dominio che approssima la geometria del ventricolo sinistro. Di conseguenza, il metodo SU offre un approccio robusto e conveniente, garantendo sia la stabilità della soluzione che l'efficienza computazionale.