Universal constructions arising from quantization of Lie bialgebras

This Ph.D. thesis is devoted to the study of the theory of quantization of Lie bialgebras and related universal constructions. We give a new treatment of the Drinfeld associator arising from the Knizhnik–Zamolodchikov connection, showing its main identities and properties through concrete evaluation of parallel transports with respect to flat connections along well–chosen paths. We used undergraduate Mathematics in all the reasonings, simplifying the previous treatments existing in literature. We provide a more detailed version of P. Ševera’s quantization of Lie bialgebras, giving explicit and diagrammatic proofs of all the categorical statements. We then show that such a construction is compatible with Drinfeld–Yetter modules and twists. We give a new proof of the Enriquez–Etingof Hensel’s lemma, which is a statement playing a key role in the proof of the invertibility of the Etingof–Kazhdan quantization functor. Our proof involves techniques of basic linear algebra and ring theory. Finally, we present a combinatorial description of the Appel–Toledano Laredo universal Drinfeld– Yetter algebra, which is involved in the theory of universal quantization functors. We define the set of Drinfeld–Yetter mosaics and the set of Drinfeld–Yetter looms, and we use them to give a combinatorial description of such an algebra.

Questa tesi di dottorato è dedicata allo studio della teoria della quantizzazione delle bialgebre di Lie e alle costruzioni universali ad essa collegate. Diamo una nuova trattazione dell'associatore di Drinfeld derivante dalla connessione di Knizhnik–Zamolodchikov, mostrando le sue principali identità e proprietà attraverso la valutazione concreta di trasporti paralleli rispetto a connessioni piatte lungo cammini ben scelti. Abbiamo utilizzato matematica universitaria in tutti i ragionamenti, semplificando le trattazioni precedenti esistenti in letteratura. Forniamo una versione più dettagliata della quantizzazione delle bialgebre di Lie di P. Ševera, esibendo dimostrazioni esplicite e diagrammatiche di tutte le affermazioni categoriche. Mostriamo inoltre che tale costruzione è compatibile con i moduli di Drinfeld–Yetter e con i twist. Diamo una nuova dimostrazione del lemma di Hensel di Enriquez–Etingof, che è un risultato che gioca un ruolo chiave nella dimostrazione dell’invertibilità del funtore di quantizzazione di Etingof–Kazhdan. La nostra dimostrazione coinvolge tecniche di algebra lineare di base e teoria degli anelli. Infine, presentiamo una descrizione combinatorica dell'algebra universale Drinfeld-Yetter di Appel–Toledano Laredo, la quale svolge un ruolo nella teoria dei funtori universali di quantizzazione. Definiamo l'insieme dei mosaici di Drinfeld–Yetter e l'insieme dei telai di Drinfeld–Yetter, e li usiamo per dare una descrizione combinatorica di tale algebra.