Reflection groups and flat structures

In the thesis, we show that the orbit space of B_2 can be equipped with two Frobenius manifolds structures related to the defocusing and focusing NLS (nonlinear Shrodinger) equation respectively. Motivated by this example, we generalize this construction for any B_n, with n>2. Such a construction is based on the existence of a homogeneous flat pencil of cometrics defined on the orbit space of B_n. The proof of the existence of a homogeneous flat pencil relies on the Dubrovin-Saito procedure suitably modified. Starting from this pencil, one can reconstruct a unique Frobenius manifold structure M on the orbit space of B_n, for any n > 2, by following an alternative procedure with respect to the standard one presented by Dubrovin; this technical obstacle is due to the non-regularity of the pencil of cometrics. Remarkably, M is isomorphic to a Hurwitz-Frobenius manifold structure. This is related to the constrained KP hierarchy. Such an identification makes it possible to explicitly compute the structure constants corresponding to the dual product of M.

Nella tesi mostriamo che lo spazio delle orbite di B_2 può essere dotato di due struttre di varietà Frobenius associate rispettivamente alle equazione di Shrodinger non lineare defocusing e focusing. Motiviati da questo esempio, generalizziamo questa costruzione per ogni B_n, con n>2. Tale costruzione è basata su l'esistenza di un fascio piatto e omogeneo di cometriche definito sullo spazio delle orbite di B_n. La dimostrazione dell'esistenza di un fascio piatto e omogeneo si basa sulla procedura di Dubrovin-Saito modificata in modo opportuno. Partendo da questo fascio, si ricostruisce un'unica struttura di varietà di Frobenius M sullo spazio delle orbite di B_n, per ogni n>2, seguendo una procedura alternativa rispetto a quella standarda proposta da Dubrovin; questa complicazione tecnica è dovuta alla non regolarità del fascio di cometriche. Sorprendentemente, M è isomorfo a una struttura di varietà di Hurwitz-Frobenius. Questa è associata alla gerarchia constrained KP. Tale identificazione rende possibile calcolare esplicitamente le costanti di struttura del prodotto duale di M.