Qualitative properties of elliptic operators on Riemannian manifolds

The present thesis aims to expose the topics explored and the results obtained during my PhD program. The structure of the thesis is divided, in a natural fashion, in two parts. This division is due to both the diversity of the topics discussed and the difference of the approaches adopted. The common thread connecting these two parts is something that has been woven into my studies from the very beginning and has persisted throughout all the three years of my doctoral program: the investigation of the qualitative properties of differential operators defined over Riemannian manifolds. Part I of this thesis is devoted to the maximum principles for second order, elliptic, differential operators and to their application into the study of the relationship that exists between symmetry and stability of solutions to semilinear Dirichlet problems. In Chapter 1 we address the problem of finding a maximum principle in unbounded Riemannian domains. We have achieved two major results, each obtained under different assumptions and with distinct techniques. The first one is a maximum principle for domains of warped product manifolds contained in the complement of a strip, which generalizes a classical Euclidean result for domains contained in the complement of a cone. The second result is about the validity of a maximum principle on general unbounded domains under the hypothesis that the first (generalized) eigenvalue of the operator is positive. For this theorem it has been essential the achievement of an Alxandroff-Bakelmann-Pucci estimate on Riemannian manifolds. To follow, in Chapter 2 we present some symmetry results for stable solutions to Dirichlet problems defined over specific symmetric domains. These results are obtained using different versions of the maximum principle, including those proved in the first chapter. In particular, we present two theorems treating respectively the cases of a plenty and of a lack of enough isometries acting on the domain we are considering. In Part II our goal is to investigate a particular differential property of Schrodinger operators defined over Riemannian manifolds: the L^p-preservation of positivity. This property has been widely studied in the recent years and it is tied hand in glove to the essential selfadjointness of such operators. It is worth noting that the preservation of positivity for the operator -\Delta+1 acting on L^p functions, p in (1,+\infty), is implied by the geodesic completeness of the manifold. In Chapter 3 we show that the validity of the positivity preserving property for the operator -\Delta+1 acting on L^\infty functions is, in fact, equivalent to the stochastic completeness of the manifold at hand. We get this result by employing a monotone approximation through smooth (bounded) subsolutions. In conclusion, we provide a counterexample showing that in case p=1 geodesic completeness and preservation of positivity are generally unrelated. Chapter 4 deals with more general Schrodinger operators, having a positive and locally bounded potential, defined over a complete Riemannian manifold. Thanks to some iterative lemmas, we managed to prove the positivity preserving property over the class of L^p_{loc} functions whose L^p norm over geodesic balls grows at a certain rate. This growth depends both on the value of p in [1,+\infty) and on the decay rate of the potential at infinity. Finally, in Chapter 5 we settle our study in incomplete Riemannian manifolds obtained by cutting off a compact subset K from a complete manifold. By assuming a Minkowski condition on the size of the compact set, we obtain the L^p positivity preserving property for Schrodinger operators whose potential diverges to +\infty nearby K. Using this result, we also prove that the family of compactly supported smooth functions is a core for such operators, thereby showing that they are essentially selfadjoint in the case p=2.

Questa tesi ha lo scopo di esporre gli argomenti esplorati e i risultati ottenuti durante il mio programma di dottorato. La struttura della tesi è suddivisa, in modo naturale, in due parti. Questa divisione è dovuta sia alla diversità degli argomenti trattati che alle diverse approcci adottati. Il filo conduttore che collega queste due parti è qualcosa che è si è intrecciato nei miei studi fin dall'inizio ed è perdurato per tutti e tre gli anni del mio programma di dottorato: l'indagine sulle proprietà qualitative degli operatori differenziali definiti su varietà Riemanniane. La Parte I è dedicata ai principi del massimo per operatori differenziali ellittici del secondo ordine e alla loro applicazione nello studio del rapporto tra simmetria e stabilità delle soluzioni di problemi di Dirichlet semilineari. Nel Capitolo 1 affrontiamo il problema della ricerca di un principio del massimo in domini Riemanniani non limitati. Abbiamo ottenuto due risultati principali, ciascuno conseguito con diverse ipotesi e tecniche distinte. Il primo riguarda un principio del massimo per domini di prodotti deformati e contenuti nel complemento di una striscia, che generalizza un risultato euclideo classico per domini contenuti nel complemento di un cono. Il secondo risultato riguarda la validità di un principio del massimo su domini non limitati regolari in varietà generiche, sotto l'ipotesi che il primo autovalore (generalizzato) dell'operatore sia positivo. Per questo teorema è stato essenziale ottenere una stima di Alxandroff-Bakelmann-Pucci sulle varietà Riemanniane. Successivamente, nel Capitolo 2 presentiamo alcuni risultati di simmetria per soluzioni stabili dei problemi di Dirichlet definiti su domini simmetrici. Questi risultati sono ottenuti utilizzando diverse versioni del principio del massimo, compresi quelli dimostrati nel primo capitolo. In particolare, presentiamo due teoremi che trattano rispettivamente il caso in cui ci siano molte o poche isometrie che agiscono sul dominio preso in considerazione. Nella Parte II, il nostro obiettivo è indagare una particolare proprietà differenziale degli operatori di Schrödinger definiti su varietà Riemanniane: la conservazione della positività L^p. Questa proprietà è stata ampiamente studiata negli ultimi anni ed è strettamente legata all'essenziale autoaggiuntezza di tali operatori. È importante notare che la conservazione della positività per l'operatore -\Delta+1 che agisce su funzioni in L^p, con p compreso tra 1 e + infinito, è implicata dalla completezza geodetica della varietà. Nel Capitolo 3 mostriamo che la validità della proprietà di conservazione della positività per l'operatore -\Delta+1 che agisce su funzioni in L^\infty è, di fatto, equivalente alla completezza stocastica della varietà in questione. Otteniamo questo risultato utilizzando un'approssimazione monotona tramite sottosoluzioni lisce (limitate). In conclusione, forniamo un controesempio che dimostra che, nel caso p=1, la completezza geodetica e la conservazione della positività sono generalmente non correlate. Il Capitolo 4 tratta operatori di Schrödinger più generali, con un potenziale positivo e localmente limitato, definiti su una varietà Riemanniana completa. Grazie a alcuni lemmi iterativi, siamo riusciti a dimostrare la proprietà di conservazione della positività sulla classe di funzioni L^p_{loc} il cui norma L^p su palle geodetiche cresce a una certa velocità. Questa crescita dipende sia dal valore di p in [1,+infinito) che dalla velocità di decadimento del potenziale all'infinito. Infine, nel Capitolo 5 approfondiamo il nostro studio in varietà Riemanniane incomplete ottenute tagliando un sottoinsieme compatto K da una varietà completa. Assumendo una condizione di Minkowski su K, otteniamo la proprietà di conservazione della positività in L^p per operatori di Schrödinger il cui potenziale diverge a + infinito nelle vicinanze di K.