Developments in non-relativistic field theory and complexity

This thesis focuses on the investigation of two broad research areas: non-relativistic field theories and holographic complexity. In the first part we review the general classification of the trace anomaly for 2+1 dimensional field theories coupled to a Newton-Cartan background and we also review the heat kernel method, which is used to study one-loop effective actions and then allows to compute anomalies for a given theory. We apply this technique to extract the exact coefficients of the curvature terms of the trace anomaly for both a non-relativistic free scalar and a fermion, finding a relation with the conformal anomaly of the 3+1 dimensional relativistic counterpart which suggests the existence of a non-relativistic version of the a-theorem on which we comment. We continue the analysis of non-relativistic free scalar and fermion with the heat kernel method by turning on a source for the particle mass: on this background, we find that there is no gravitational anomaly, but the trace anomaly is not gauge invariant. We then consider a specific model realizing a N=2 supersymmetric extension of the Bargmann group in 2+1 dimensions with non-vanishing superpotential, obtained by null reduction of a relativistic Wess-Zumino model. We check that the superpotential is protected against quantum corrections as in the relativistic parent theory, thus finding a non-relativistic version of the non-renormalization theorem. Moreover, we find strong evidence that the theory is one-loop exact, due to the causal structure of the non-relativistic propagator together with mass conservation. In the second part of the thesis we review the holographic conjectures proposed by Susskind to describe the time-evolution of the Einstein-Rosen bridge in gravitational theories: the complexity=volume and complexity=action. These quantities may be used as a tool to investigate dualities, and we investigate both the volume and the action for black holes living in warped AdS_3 spacetime, which is a non-trivial modification of usual AdS_3 with non-relativistic boundary isometries. In particular, we analytically compute the time dependence of complexity finding an asymptotic growth rate proportional to the product of Hawking temperature and Bekenstein-Hawking entropy. In this context, there exist extensions of the holographic proposals when the dual state from the field theory side is mixed, i.e. we consider only a subregion on the boundary. We study the structure of UV divergences, the sub/super-additivity behaviour of complexity and its temperature dependence for warped black holes in 2+1 dimensions when the subregion is taken to be one of the two disconnected boundaries. Finally, we analytically compute the subregion action complexity for a general segment on the boundary in the BTZ black hole background, finding that it is equal to the sum of a linearly divergent term proportional to the size of the subregion and of a term proportional to the entanglement entropy. While this result suggests a strong relation of complexity with entanglement entropy, we find after investigating the case of two disjoint segments in the BTZ background that there are additional finite contributions: then the previous elegant structure holds only for the divergent parts.

Questa tesi si focalizza sullo studio di due ambiti di ricerca principali: teorie di campo non relativistiche e complessità olografica. Nella prima parte riesaminiamo la classificazione generale dell'anomalia di traccia per teorie di campo 2+1 dimensionali accoppiate a una geometria di Newton-Cartan e revisioniamo anche il metodo dell'heat kernel, che è utilizzato per studiare azioni effettive a un loop e permette quindi di calcolare le anomalie per una data teoria. Applichiamo questa tecnica per estrarre i coefficienti esatti dei termini di curvatura dell'anomalia di traccia sia per uno scalare che per un fermione liberi e non relativistici, trovando una relazione con l'anomalia conforme della controparte relativistica in 3+1 dimensioni che suggerisce l'esistenza di una versione non relativistica del teorema a su cui commentiamo. Proseguiamo l'analisi dello scalare e del fermione libero e non relativistico con il metodo dell'heat kernel accendendo una sorgente per la massa delle particelle: in questa geometria, troviamo che non c'è anomalia gravitazionale, ma l'anomalia di traccia non è invariante di gauge. In seguito consideriamo un modello specifico che realizza un'estensione supersimmetrica N=2 del gruppo di Bargmann in 2+1 dimensioni con superpotenziale non nullo, ottenuto dalla riduzione dimensionale lungo una direzione nulla del modello di Wess-Zumino relativistico. Controlliamo che il superpotenziale è protetto contro le correzioni quantistiche come nella controparte relativistica, così trovando une versione non relativistica del teorema di non rinormalizzazione. Inoltre, abbia una forte evidenza che la teoria è esatta a un loop, a causa della struttura causale del propagatore non relativistico e a causa della conservazione della massa. Nella seconda parte della tesi revisioniamo le congetture olografiche proposte da Susskind per descrivere l'evoluzione temporale del ponte di Einstein-Rosen in teorie gravitazionali: la complessità=volume e la complessità=azione. Queste quantità possono essere usate come un modo per studiare dualità, e noi consideriamo sia il volume che l'azione di buchi neri in spazi AdS_3 warped, che costituiscono delle deformazioni non banali dell'usuale AdS_3, aventi isometrie al bordo non relativistiche. In particolare, calcoliamo analiticamente la dipendenza temporale della complessità trovando una derivata temporale asintotica proporzionale al prodotto della temperatura di Hawking e dell'entropia di Bekenstein-Hawking. In questo contesto, esistono estensioni delle proposte olografiche quando lo stato duale in teoria dei campi è misto, cioé consideriamo soltanto una sottoregione del bordo. Calcoliamo la struttura delle divergenze ultraviolette, il comportamento sub/super-additivo della complessità e la sua dipendenza dalla temperatura per buchi neri warped in 2+1 dimensioni, quando la sottoregione è uno dei bordi disconnessi dello spaziotempo. Infine, calcoliamo analiticamente la complessità=azione per una sottoregione data da un segmento nella geometria del buco nero BTZ, dimostrando che è uguale alla somma di un termine divergente direttamente proporzionale alla lunghezza della sottoregione, più un termine proporzionale all'entropia di entanglement. Mentre questo risultato suggerisce un forte legame tra complessità ed entropia di entanglement, dimostriamo che nel caso di due segmanti disgiunti nella geometria del BTZ ci sono dei termini finiti aggiuntivi: quindi, la precedente elegante struttura rimane vera solo per le parti divergenti.